Sec04 Continuity and Connectedness.tex

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\begin{document}

\subsection*{Continuity and Connectedness}

\begin{theorem}
  If $f$ is a continuous mapping of a metric space $X$ into a metric space $Y$, and if $E$ is a connected subset of
  $X$, then $f(E)$ is connected.
\end{theorem}

\begin{proof}
  按照相反的来假设，$f(E) = A \cup B$，且 $A$ 与 $B$ 为 $Y$ 的非空分离子集。令 $G = E \cap f^{-1}(A),H = E \cap f^{-1}(B)$。

  那么 $E = G \cup H$，且 $G$ 与 $H$ 皆不为空。

  因为 $A \subset \overline{A}$（即 $A$ 的闭包），有 $G \subset f^{-1}(\overline{A})$；后者为闭集，因为 $f$ 是连续的；因此
  $\overline{G} \subset f^{-1}(\overline{A})$。其遵循 $f(\overline{G}) \subset \overline{A}$。因为 $f(H) = B$ 与
  $\overline{A} \cap B$ 皆为空，可得 $\overline{G} \cap H$ 为空。

  同样的论证可得 $G \cap \overline{H}$ 为空。因此 $G$ 与 $H$ 是分离的。这样是不可能的，如果 $E$ 是连接着的，
\end{proof}

\begin{anote}
  设 $f$ 是把连通的度量空间 $X$ 映入度量空间 $Y$ 内的连续映射，$E$ 是 $X$ 的连通子集，那么 $f(E)$ 是连通的。
\end{anote}

\begin{theorem}
  Let $f$ be a continuous real function on the interval $[a, b]$. If $f(a) < f(b)$ and if $c$ is a number such that
  $f(a) < c < f(b)$, then there exists a point $x \in (a,b)$ such that $f(x) = c$.
\end{theorem}

当然如果 $f(a) > f(b)$ 也有同样一个结果。粗略而言，该定理说明了一个连续的实函数假设了一个区间中的所有中间值。

\begin{proof}
  根据 Theorem 2.47，$[a, b]$ 是连接着的；因此 Theorem 4.22 可得 $f([a,b])$ 是 $R^1$ 的一个连接子集。如果再次应用 Theorem 2.47，
  该声明成立。
\end{proof}

\refstepcounter{poma}

\end{document}